두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문

특별히 조사를 따로 한 것은 아니지만, 제가 공부한 분야라서 조금은 설명을 드릴 수 있을 것 같습니다.
a+bxc일 때 곱하기를 먼저하라는 규칙, 즉, 덧셈과 곱셈이 괄호 없이 나란히 놓여질 때 곱셈을 먼저하라는 규칙은 사실은 a+(bxc) 라고 원래 써야하는 괄호를 생략해도 된다는 규칙입니다.

그런데, 왜 이런 규칙이 생겨났을까요? 이것은 단지 임의적이고 우연적인 약속인 걸까요?
여기서 임의적이고 우연적이라는 것은 이 "괄호를 생략해도 된다"는 규칙이 (곱셈,나눗셈)에 대해서가 아니라 반대로 (덧셈,뺄셈)에 대한 것으로 바뀌어도 결국 아무런 차이를 만들지 않을 것이라는 뜻입니다.
그런데, 실제로, 만약 "괄호를 생략해도 된다"는 규칙이 (덧셈,뺄셈)에 적용되는 대안적인 표기체계를 쓸 경우 차이가 생기게 됩니다. 그것은 덧셈과 곱셈이 대등하고 독립적인 위치에 있는 연산이 아니라, 곱셈은 덧셈을 반복하는 것을 일반화한 연산이라는 점 때문입니다. 

이런 덧셈과 곱셈의 위상의 차이를 나타내는 덧셈과 곱셈 사이의 연산관계 규칙은, 분배법칙 즉 ax(b+c)=(axb)+(axc)라는 규칙입니다.  반대로 만약 a+(bxc)라는 계산을 한다면 a는 b와 c에 분배적으로 작용하지 않습니다.

다시 말해, 덧셈에 괄호가 있으면
ax(b+c)=(axb)+(axc) 이지만
곱셈에 괄호가 있으면
a+(bxc)=a+(bxc) 즉, 별다른 차이가 없는 것이죠. 따라서 생략을 하는 것이 표기를 더 간단하게 해 줍니다.

곱셈,나눗셈을 먼저하고 덧셈,뺄셈을 나중에 하는 것은 이런 표기를 더 편리하고 합리적으로 하기 위해서 만들어진 법칙입니다. 괄호로 순서를 명시해 줄 필요가 없이 단지, 이 규칙만 기억하고 있으면 만사가 편한 것이죠. 그리고 곱셈과 나눗셈을 먼저하는 것이 여러모로 더 합리적이구요.

수학의 규칙은 대체로 이렇게 표기의 규칙들로 환원되는데, 이 규칙들은 많은 경우 오랜 세월동안 그렇게 성립할 만큼 일반성을 가졌다는 이유가 있는 것이지, 그냥 어쩌다 보니 꼭 그렇게 된 것이라는 부분은 아주 작은 부분에 불과합니다. (예를 들면 더하기의 기호가 +로 쓰인다던지 하는 것은 그저 인간의 역사의 우연한 결과물이죠..)

이런 숨은 의미를 찾아보는 것이 수학의 또 하나의 재미이기도 하죠.